Физика

  Механика

Механическое движение относительно.Невозможно сказать движется тело или покоится тело пока не выберем точку отсчета.Тело отсчета

и прибор изм. времени составляют систему отсчета.С телом отсчета связывают систему координат.Матер. точка это тело размерами которого

можно пренебречь по сравнению с масштабами его движения.Положение тела в пространстве определяется: 1)радиус-вектором, проведенным

из начала координат в данное положение тела 2)координата x;y;z 3)отрезком кривой по которой движется тело.В процессе движения тело опи-

сывает в пространстве кривую – траекторию.Зависимость положения тела в пространстве от времени называется законом движения.Формаль-

ное его отражение – уравнение движения в кинематической или интегральной форме.Осн. задача кинематики – установление законов движения.

По способу описания: в векторной  r=r(t); путевой l=l(t),S=S(t); координатной x=x(t),y=y(t),z=z(t) форме.

Средняя скорость движения за время Dt: V_cp=Dr/Dt Вектор средней скорости движения направлен по вектору перемещения.Скорость движения

Это первая производная уравнения движения по времени.Вектор скорости направлен по касательной к траектории движения.

Быстрота изменения скорости определяется ускорением a_cp =DV/Dt Ускорение тела это первая производная скорости по времени.

a_cp=DV/dt           a=d/dt(d/dt)r=d²r/dt²

Вектор ускорения можно разложить на 2 составляющие: аt - тангенциальное (направленное по касательной) и а_н – нормальное

(направлено в сторону противоположную нормали к траектории).

а= аt+ а_н                аt=d²s/dt²          а= √аt² +а_н²   a_н=V²/R           R –радиус кривизны траектории в данной точке

Ускорение характеризует быстроту изменения модуля вектора скорости.Вектор ускорения можно разложить по координатам:

a=a_xi+a_yj              а= √а_x² +а_y²

Прямолинейное движение (a=0): x=x₀+V₀t  Равнопеременное движение(а=const): x=x₀+V₀t+at²/2

Вращательное движение – если траектория окружность.Положение тела можно определять углом поворота радиус-вектора, при котором

угол берется от заранее выбранного направления. R=r(t)=const Закон движения в угловой форме: φ=φ(t).Угловая скорость – вектор напра-

вленный вдоль оси вращения, направление определяется по правилу левой руки.Вектор углового ускорения совпадает с вектором угловой

скорости при ускоренном движении и направлен в противоположную сторону при замедленном.

ω = dφ/dt – угловая скорость  V=dS/dt=Rdφ/dt=Rω   аt= dV/dt=Rdω/dt=Rε     ω=2pn              ω=ω₀ ± εt

ε =dω/dt - угловое ускорение  l=S=Rφ   T=2p/ω        а_н=V²/R=Rω²                            n=1/T=ω/2p     ω=ω₀t ± εt²/2

Законы Ньютона: 1)всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения пока действия других тел незас-

тавят его изменить это состояние.Покой и равномерное прямолинейное движение – движение по инерции.Следствием является существо-

вание инерциальных систем отсчета.Движение по инерции – проявление общего свойства материи – инерции.Мере инертности – масса.

Распределение массы по объему тела характеризуется плотностью.Мера движения – импульс тела.

m=∫ρdV          p=mV  [H*c, кг*м/с]        F=dp/dt

3)всякому действию есть равное противодействие.Производная импульса по времени равна действующей на тело силе.

ma=∑F_i    ma_x=∑F_xi ma_y=∑F_yi ma_z=∑F_zi       - ур-я движения в координатной форме     md²x/dt²=∑F_x  - в дифференциальной

Т. о импульсе силы: dp=Fdt  →  p₂ – p₁=∫Fdt  если F=const, Dp=p₂ – p₁=F_xDt  изменение импульса тела равняется импульсу силы.

Fгр=γ(m₁-m₂)/R² - гравитационная сила   F_тр=μN  μ - коэфф. трения N – сила норм. давления  F_упр= -kx – сила упругости

σ =F_вн.упр/S –норм. напряжение      ε=x / l –отн. деформация  t=F/S – касательное напряжение t=Gγ G – модуль попер. Упругости

E=kl/S  -модуль Юнга   σ =Eε – закон Гука  F_вн.тр. =η(dV/dx)DS  dV/dx –градиент скорости           γ –угол сдвига

F_coпp.=-bV – при малых скоростях

Движение тела под действием: силы тяжести: V_y=V₀ – gt    y=x₀=V₀t –gt²/2 e^-βt x=V_0xt силы сопротивления: a= -V₀βe^-βt  V=V₀e^-βt

силы упругости: ma=F_упр -kx        d²x/dt² + kx/m=0 – дифф. уравнение 2-го порядка      x=A(sin или cos)(ωt+φ₀)     ω=√k/m

Центр масс это точка положение которой рассчитывается по формулам: r=m_ir_i/ ∑m_i   ∑m_i=M  x=∑m_ix/M  y=∑m_iy/M  z=∑m_iz/M

Ma_c=∑F_j – теорема о движении центра масс: под действием внешних сил система двигается так, как двигалась быточка с координатами

центра масс и массой равной массе системы под действием тех же сил.Мощность это скорость совершения работы.

dA=FdScosα –элементарная мех. работа       A=F_sdS   A=FS     A_1,2=∫F_l dl=∫Fcosdl        N=dA/dt        N=F(DS/Dt)=FV

Работа против силы тяжести: A=mgh₂ – mgh₁   против силы упругости: A=kx₂²/ 2 – kx₁²/ 2    против силы трения: A= -F_трS

против силы тяготения: A= -(γm_зm/R₂)-(-γm_зm/R₁)     K=mV²/2       A= mV₂²/ 2 – mV₁²/ 2 – теорема о кинетической энергии

П=mgh    П=kx²/2     П=-γm_зm/R       F=F_xi+ F_yj +F_zk              F= -((d/dx)i + (d/dy)j + (d/dz)k)П= -grad П

Силовое поле – обл. пространства, на любое тело попавшее в эту область действует сила определяемая природой поля.Работа потенци-

альных сил осущ. за счет убыли потенциальной энергии.Градиент это вектор модуль которого равен производной по координате направле-

ния наиб. возрастания функции, и направленный в сторону возрастания функции.ЗСЭ: в замкнутой системе, где действуют только потенци-

альные силы полная механическая энергия остается постоянной.

Вторая космическая скорость:  mV₂²/2 =^∞_R0∫(GmM/r²)dr =GmM/R₀ откуда  V₂=√2gR₀    V₂=11,2 км/с        I=I_c+mD²

Теорема Штейнера: момент инерции тела I относительно любой оси вращения равен моменту его инерции Ic относительно параллель-

ной оси,проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния D между осями.

Момент инерции тела относительно оси вращения – это физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек

Системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.Момент инерции зависит от: геом. формы телаи положения оси вращения.

I=∑m_ir_i²  I=mr² - мат.точка  I=Mr² – кольцо I=ml²/12 –стержень(ось через центр) I=ml²/3 -стержень(ось через конец) I=2mR²/5 –шар

I=mR²/2 –диск или цилиндр       I=1,5mR² – диск (ось через край)  dA=Mdφ    A=∫Mdφ – работа при вращательном движении

M=Iε – основное уравнение динамики вращательного движения. L=Iω –вращательный импульс

Момент равный сумме моментов сил приложенных к телу – главный момент системы.M₀=∑M_i направление определяется по п. правой руки.

dL/dt=M₀ –основное уравнение динамики при вращении.ЗСИ: если система замкнута, главный момент сил равен 0. dL/dt=0

S  -  φ   V  -  ω    a  - ε    m   -   I       F  -  M     p  -  L 

Колебания – движения обладающие степенью повторяемости во времени.Если интервалы времени в пределах которых движение не пов-

торяется постоянны, то колебания периодические.

T=t/N       n=1/T=N/t    x=A(sin или cos)(ωt + φ₀)    ω=2p/T=2pn     a= -ω²x       T=2pÖm/k   ω₀=Ök/m – собств. частота

Если   x=A cos(ωt + φ₀)  то:       V= -Aω sin(ωt + φ₀)        a= -Aω cos(ωt + φ₀)    К= mV²/2= (mω²A²/2)sin²(ωt+ φ₀)

E = kA²/2(cos²(ωt+ φ₀) + sin²(ωt+ φ₀))     x = A_∑cos(ωt+φ_0∑)      x = x₁+x₂

Сложение одинаково напр. колебаний:  A_∑=ÖA₁²+A₂²+2A₁A₂cosDφ   tg φ_∑=(A₁sin φ₀₁  +A₂sinφ₀₂ )/( A₁cosφ₀₁  +A₂cosφ₀₂)

Cложнение колебаний близких частот: A_∑=2Acos tDω/2       x = 2Acos tDω/2 cos ωt = A (cos ω₁t + cos ω₂t)

Cложнение перпендикулярных колебаний: A_∑=ÖA₁²+A₂²   x = A_∑cos ωt

b=b/2m –коэфф. затухания свободных колебаний     d²x/dt² +2b dx/dt + ω₀²x=0 – дифф. уравнение свободных колебаний

x = A₀e^-btcos(ωt+ φ₀)   A=A₀e^-bt    ω=Ö ω₀²- b²   t=1/b - время релаксации(А уменьшается в е раз)   A=A₀e^-lN

l=ln( A(t)/A(t+T) ) = ln( A₀e^-bt /A₀e^-b(t+T) )= bt  l - характеризует быстроту затухания колебаний с их числом.

F=F₀cosWt      ma= -kx-bV + F     x =A_вcos(Wt - φ)      A_в= F₀/mÖ(ω₀²- W²)+ 4bW²      tg φ =2bW/(-W² + ω₀²)

ω_p=Ö ω₀²- 2b²     A_max= F₀/ m2bÖ ω₀²- b² » F/ m2bω₀²

Волна – процесс распространения колебаний в пространстве.Продольные волны (волны давления) – колебания происходят в направлении рас-

пространения волны.Поперечные волны (волны сдвига) – колебания происходят в направлении перпендикулярном направлению распр. Волны.

В газах и жидкостях существуют только волны давления.На поверхности жидкости возникают поверхностные волны как следствие волн сжатия

внутри жидкости. V_в=ÖγRT/M       l= VT     k=2p/l= ω/V - волновое число   W= ω²r/2 = r4p²A²/2T²- энергия переносимая волной

ξ = Acos(2p(t/T - x/l)+ φ₀)  ξ = Acos(ωt - kx+ φ₀)  ξ = Acos(ω(t- x/V)+ φ₀) - уравнение плоской волны(описывает колебания

ξ(∂²/∂x²+ ∂²/∂y²+ ∂²/∂z²)=(1/ V²)(∂²ξ /∂t² ) – общее уравнение волны                            точки на расстоянии Х )

 p= WV - вектор Умова     I=WSL/St – интенсивность   I=r4p²A²V/ 2T²  Cтоячая волна образуется при наложении двух бегущих на встре-

чу одинаковых волн.На практике образуется бегущей и отраженной от преграды волнами.Стоячая волна не переносит энергию, она концентри-

руется в кучностях между узлами, вызывая колебания с удвоенной амплитудой.  x=2Acos(kx) cos ωt  A_s=0 -узлы  A_s=2A – кучности

Уравнение бегущей волны: ξ(x,t)=Acos ω(t-x/V) Бегущая волна – волна переносящая энергию.